Na początku rozważmy układ zawierający pewną niewielką ilość identycznych cząstek (np. cztery), których energia może przyjmować jedną z następujących wartości \( E = 0 \), \( \Delta E \), \( 2\Delta E \), \( 3\Delta E \), \( 4\Delta E \)...... Energia całkowita układu ma wartość \( 3\Delta E \), a cząstki znajdują się w równowadze w temperaturze \( T \).

By osiągnąć ten stan równowagi cząstki muszą wymieniać energię ze sobą (na przykład poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie zmieniają się, przyjmując różne wartości.

W ten sposób może być realizowany każdy możliwy podział energii całkowitej \( 3\Delta E \) pomiędzy te cząstki. W Tabela 1 pokazane są te wszystkie możliwe podziały.

Zwróćmy uwagę, że obliczając ilość sposobów realizacji danego podziału traktujemy jako rozróżnialny podział, który można otrzymać z danego w drodze przestawiania cząstek pomiędzy różnymi stanami. Przestawienia cząstek w tym samym stanie energetycznym nie prowadzą do nowych sposobów realizacji podziałów, bo nie można eksperymentalnie odróżnić od siebie takich samych cząstek o tej samej energii.

Ponadto przyjmujemy, że wszystkie sposoby podziału energii mogą wydarzyć się z tym samym prawdopodobieństwem.

Następnie obliczamy \( N(E) \) czyli prawdopodobną ilość cząstek w danym stanie energetycznym \( E \). Rozpatrzmy stan \( E = 0 \).

Dla podziału \( k = 1 \) mamy \( N_{1} \) = 3 cząstki w stanie o \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \( P_{1} \) = 4/20.

Dla podziału \( k = 2 \) mamy \( N_{2} \) = 2 cząstki w stanie o \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \( P_{2} \) = 12/20.

Dla podziału \( k = 3 \) mamy \( N_{3} \) = 1 cząstkę w stanie o \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi \( P_{3} \) = 4/20.

Zatem prawdopodobna ilość cząstek w stanie \( E = 0 \) wynosi:

Analogicznie obliczamy \( N(E) \) dla pozostałych wartości \( E \) (patrz ostatni wiersz Tabela 1 ).

Zauważmy, że suma tych liczb wynosi cztery, tak że jest równa całkowitej liczbie cząstek we wszystkich stanach energetycznych. Wykres zależności \( N(E) \) jest pokazany na Rys. 1.

Ciągła krzywa na rysunku jest wykresem malejącej wykładniczo funkcji \( N(E)=\text{Ae}^{-\frac{E}{E_{0}}} \).

Możemy teraz wybierać coraz mniejsze \( \Delta E \) (zwiększając ilość dozwolonych stanów) przy tej samej co poprzednio wartości całkowitej energii. Oznacza to, że będziemy dodawać coraz więcej punktów do naszego wykresu, aż w granicy gdy \( \Delta E \rightarrow 0 \) przejdziemy do funkcji ciągłej danej powyższym równaniem.

Potrzebujemy jeszcze znaleźć wartość \( E_{0} \). Obliczenia te choć proste wykraczają poza ramy tego wykładu. Wystarczy więc zapamiętać, że \( E_{0} = kT \), toznaczy jest równa średniej energii układu cząstek w temperaturze \( T \). Ostatecznie więc

Jest to rozkład Boltzmana, który mówi, że prawdopodobna ilość cząstek układu w równowadze w temperaturze \( T \), znajdujących się w stanie o energii \( E \) jest proporcjonalna do \( \exp(-E/kT) \). Sposób wyboru stałej proporcjonalności A zależy od tego jaki układ rozważamy.